Permutation | বিন্যাস | S N De Maths Solution

আমরা এই অধ্যায়ে (S N De Maths , Chhaya Publisher) বিন্যাস সংক্রান্ত দীর্ঘ উত্তর ধর্মী প্রশ্নোত্তর [Ex- 7A, Long Ans Type : Qst No. 1-5] আলোচনা করব ।

1. n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে একযোগে $\,r\,\,$ সংখ্যক বস্তুর বিন্যাস সংখ্যা $\,{}^nP_r\,\,$ হলে দেখাও যে,

$1 +1.{}^1P_1+2.{}^2P_2+3.{}^3P_3+\cdots +n.{}^nP_n ={}^{n+1}P_{n+1}$

Solution.

আমরা জানি,

$\,{}^{i+1}P_{i+1}=(i+1)!=(i+1)i! =(i+1)\times {}^iP_i=i{}^iP_i+{}^iP_i \\ \Rightarrow {}^{i+1}P_{i+1}-{}^iP_i=i\cdot{}^iP_i\rightarrow(1)$

স্পষ্টতই $\,(1)\,$ নং সম্পর্কটি একটি অভেদ(identity).

এখন, $\\ i=1,2,3,\cdots,n\,$ বসিয়ে পাই,

${}^2P_2-{}^1P_1=1 \times {}^1P_1 \\ {}^3P_3-{}^2P_2=2 \times {}^2P_2 \\ \vdots \\ {}^nP_n-{}^{n-1}P_{n-1}=(n-1) \times {}^{n-1}P_{n-1}\\ {}^{n+1}P_{n+1}-{}^nP_n=n \times {}^nP_n$

যোগ করে পাই,

${}^{n+1}P_{n+1}-{}^1P_1= 1 \times {}^1P_1+2 \times {}^2P_2+ \cdots +n \times {}^nP_n \\ \Rightarrow 1 +1.{}^1P_1+2.{}^2P_2+3.{}^3P_3 +\cdots +n.{}^nP_n={}^{n+1}P_{n+1}$

2. যদি $\,\,\frac{{}^nP_{r-1}}{a}=\frac{{}^nP_{r}}{b}=\frac{{}^nP_{r+1}}{c}\,\,$ হয়, দেখাও যে, $b^2=a(b+c).$

Solution.

$\frac1a \times {}^nP_{r-1}=\frac1b \times {}^nP_r \\ \Rightarrow \frac{n!}{a(n-r+1)!}=\frac{n!}{b(n-r)!} \\ \Rightarrow \frac{1}{a(n-r+1)}=\frac{1}{b}\rightarrow(1)$

একই ভাবে,

$\frac1c \times {}^nP_{r+1}=\frac1b \times {}^nP_r \\ \Rightarrow \frac{1}{c}=\frac{1}{b(n-r)} \\ \Rightarrow (n-r)=\frac{c}{b}\rightarrow(2)$

(1) ও (2) থেকে পাই,

$\,\,\frac{1}{a(\frac cb +1)}=\frac 1b \\ \Rightarrow b^2=a(b+c)$

3. প্রমাণ করো যে $\,n\,$ সংখ্যক জিনিসের সবগুলি একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার যত গুলিতে নির্দিষ্ট $\,m\,$ সংখ্যক বস্তু কখনো পাশাপাশি না থাকে তার সংখ্যা হয় $\,n!-m! \times (n-m+1)!\,$

Solution.

n সংখ্যক জিনিসের সবগুলি কে একত্রে নিয়ে এমনভাবে বিন্যাস করতে হবে যাতে নির্দিষ্ট m সংখ্যক জিনিস কখনো পাশাপাশি থাকবে না। কোনো বাধ্যবাধকতা না থাকলে বা কোন শর্ত আরোপিত না থাকলে n সংখ্যক নির্দিষ্ট জিনিসকে $\,{}^nP_n=n!\,$ প্রকারে বিন্যস্ত করা সম্ভব। সুতরাং m সংখ্যক নির্দিষ্ট জিনিসকে একটি জিনিস ধরলে জিনিসের সংখ্যা হয় $\,n-m+1.\,$ এই সংখ্যক জিনিসগুলোকে নিজেদের মধ্যে $\,{}^{n-m+1}P_{n-m+1}=(n-m+1)!\,$ প্রকারে বিন্যস্ত করা যাবে। আবার $\,m\,$ সংখ্যক নির্দিষ্ট জিনিসকে নিজেদের মধ্যে $\,m!\,$ প্রকারে বিন্যস্ত করা

যাবে। সুতরাং যে বিন্যাসগুলোতে নির্দিষ্ট $\,m\,$ সংখ্যক জিনিস পাশাপাশি থাকবে তাদের সংখ্যা হল $=\,m! \times (n-m+1)!\,$

কাজেই যে বিন্যাস গুলিতে m সংখ্যক নির্দিষ্ট জিনিস পাশাপাশি থাকবে না তার সংখ্যা হল $=\,n!-m! \times (n-m+1)!\,$

4. একই অংক একাধিকবার ব্যবহার না করে $\,\,2,3,4,5,6,7\,$ এই অংকগুলোর সাহায্যে $\,\,999\,\,$ অপেক্ষা ছোট এবং $\,2\,$ দ্বারা বিভাজ্য যতগুলো সংখ্যা গঠন করা যায় তার সংখ্যা নির্ণয় করো।

Sol. স্পষ্টতই $\,\,999\,\,$ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর সংখ্যা (i) 1 অংকবিশিষ্ট (ii) 2 অংকবিশিষ্ট অথবা (iii) 3 অংক বিশিষ্ট হতে পারে।

(i) এখন এক অংক বিশিষ্ট সংখ্যা হতে পারে, কারণ ছটি অংক প্রদত্ত। প্রদত্ত 6 টি অংকের মধ্যে তিনটি অঙ্ক $\,2\,$ দ্বারা বিভাজ্য।

(ii) 2 দ্বারা বিভাজ্য দুই অংক বিশিষ্ট সংখ্যা গঠনের ক্ষেত্রে একক স্থানে অতি অবশ্যই $\,2,4\,$ অথবা $\,6\,$ কে বসাতে হবে।

2 কে একক স্থানে বসালে গঠিত সংখ্যার সংখ্যা= $\,{}^5P_1$

অনুরুপে 4 কে একক স্থানে বসালে গঠিত সংখ্যার সংখ্যা= $\,{}^5P_1$

এবং 6 কে একক স্থানে বসালে গঠিত সংখ্যার সংখ্যা= $\,{}^5P_1$

অতএব 2 দ্বারা বিভাজ্য দুই অংক বিশিষ্ট সংখ্যার সংখ্যা

$={}^5P_1+{}^5P_1+{}^5P_1=3 \times \frac{5}{(5-1)!}=3 \times \frac{5.4!}{4!}=3 \times 5=15$

$\,2\,$ দ্বারা বিভাজ্য $\,3\,$ অংকবিশিষ্ট সংখ্যা গঠনের ক্ষেত্রে একক স্থানে অতি অবশ্যই $\,2,4\,$ অথবা $\,6\,$ কে বসাতে হবে। $\,2\,$ দ্বারা বিভাজ্য $\,3\,$ অংকবিশিষ্ট সংখ্যা গঠনের ক্ষেত্রে একক স্থানে $\,2\,$ কে বসালে বাকি পাঁচটি অঙ্ককে দুটি স্থানে $\,{}^5P_2\,$ প্রকারে সাজানো যায়।

2 কে একক স্থানে বসালে গঠিত সংখ্যার সংখ্যা= $\,{}^5P_2$

অনুরুপে 4 কে একক স্থানে বসালে গঠিত সংখ্যার সংখ্যা= $\,{}^5P_2$

এবং 6 কে একক স্থানে বসালে গঠিত সংখ্যার সংখ্যা= $\,{}^5P_2$

সুতরাং 2 দ্বারা বিভাজ্য 3 অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যার সংখ্যা

$={}^5P_2+{}^5P_2+{}^5P_2 =3 \times {}^5P_2 =3 \times \frac{5!}{(5-2)!}=3 \times \frac{5.4.3!}{3!}=60.$

একই অংক একাধিকবার ব্যবহার না করে $\,\,2,3,4,5,6,7\,$ এই অংকগুলোর সাহায্যে $\,\,999\,\,$ অপেক্ষা ছোট এবং $\,2\,$ দ্বারা বিভাজ্য যতগুলো সংখ্যা গঠন করা যায় তার সংখ্যা= $3+15+60=78.$

5. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 অংকগুলির সাহায্যে $\,1000\,\,$ অপেক্ষা ছোট এবং $\,5\,$ দ্বারা বিভাজ্য যতগুলো সংখ্যা গঠন করা যায় তার সংখ্যা নির্ণয় করো, কোন সংখ্যায় কোন অংক একবারের বেশি থাকবে না?

Sol. স্পষ্টতই $\,1000\,\,$ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর সংখ্যা $(i)~~\,1\,$ অঙ্কবিশিষ্ট $(ii)~~~\,2\,$ অঙ্কবিশিষ্ট অথবা $(iii)~~~\,3\,$ অংক বিশিষ্ট হতে পারে।

(i) 1 অঙ্কবিশিষ্ট 5 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যার সংখ্যা হবে একটি। যথাঃ 5.

(ii) 5 দ্বারা বিভাজ্য দুই অংক বিশিষ্ট সংখ্যা গঠনের ক্ষেত্রে একই স্থানে অতি অবশ্যই $\,0\,$ কিংবা $\,5\,$ কে বসাতে হবে।

দুই অংক বিশিষ্ট সংখ্যা গঠনের ক্ষেত্রে একক স্থানে 5 রাখলে গঠিত সংখ্যার সংখ্যা হবে= $\,{}^9P_1-1\,$ টি কেননা এক্ষেত্রে দশকের স্থানে শূন্য থাকার ক্ষেত্রটি বাদ দিতে হবে।

আবার একক খানে শূন্যকে রাখলে গঠিত সংখ্যার সংখ্যা হবে= $\,{}^9P_1\,$ টি ।

এতদিন সুতরাং $\,5\,$ দ্বারা বিভাজ্য দুই অংক বিশিষ্ট সংখ্যার সংখ্যা হবে=

$~~{}^9P_1-1+{}^9P_1=2 \times {}^9P_1-1=2 \times \frac{9!}{(9-1)!}-1=2 \times \frac{9.8!}{8!}-1=2 \times 9-1=18-1=17$

(iii) $\,5\,$ দ্বারা বিভাজ্য $\,3\,$ অংকবিশিষ্ট সংখ্যা গঠনের ক্ষেত্রে একক স্থানে অতি অবশ্যই $\,0\,$ কিংবা $\,5\,$ কে রাখতে হবে। $\,5\,$ অংক বিশিষ্ট সংখ্যা গঠনের ক্ষেত্রে একক স্থানে $\,5\,$ কে রাখলে গঠিত সংখ্যার সংখ্যা= $({}^9P_2-{}^8P_1)\,\,$ কেননা এক্ষেত্রে শতকের স্থানে শূন্য আসার ক্ষেত্রগুলো বাদ দিতে হয়।

আবার একক স্থানে শূন্য বসালে গঠিত সংখ্যার সংখ্যা= $\,{}^9P_2\,$

সুতরাং $\,5\,$ দ্বারা বিভাজ্য $\,3\,$ অংকবিশিষ্ট সংখ্যার সংখ্যা= 5 দ্বারা বিভাজ্য হাজার অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর সংখ্যার সংখ্যা

$={}^9P_2-{}^8P_1+{}^9P_2\\=2 \times {}^9P_2-{}^8P_1\\=2 \times \frac{9!}{(9-2)!}-\frac{8!}{(8-1)!}\\=2 \times \frac{9.8.7!}{7!}-\frac{8\cdot 7!}{7!}\\=2\cdot 9\cdot 8-8\\=144-8\\=136$

সুতরাং $\,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\,\,$ অংকগুলির সাহায্যে $\,1000\,\,$ অপেক্ষা ছোট এবং $\,5\,$ দ্বারা বিভাজ্য যতগুলো সংখ্যা গঠন করা যায় তার সংখ্যা $=1+17+136=154$

Post Views: 5

Permutation | বিন্যাস | S N De Maths Solution | Part-7

আমরা এই অধ্যায়ে (S N De Maths , Chhaya Publisher) বিন্যাস সংক্রান্ত দীর্ঘ উত্তর ধর্মী প্রশ্নোত্তর [Ex- 7A, Long Ans Type : Qst No. 1-5] আলোচনা করব ।

Leave a Comment Cancel reply